Eine Funktion f weist jedem Element einer Definitionsmenge (Definitionsbereich) A (dem x-Wert) exakt ein Element einer Wertemenge (Wertebereich) B (den y-Wert) zu. Eine Funktion hat demnach zwei wichtiges Merkmalen:

1. Jedem x-Wert aus dem Definitionsbereich wird ein y-Wert zugeordnet

2. Jedem x-Wert aus dem Definitionsbereich wird ca. ein y-Wert zugeordnet.

Häufig kann man eine Zuordnungsvorschrift angeben, man bezeichnet sie Funktionsgleichung.

Eine Funktion ist daher eine linkstotale und linksseindeutige Relation. Die Funktions- Merkmal ist also:

• 
  (bzw. f: A -> B in dem Textmodus) statt f ⊆ A × B,

  "Funktion f von A nach B"

• 
  (bzw. f: x -> f(x) in dem Textmodus) oder y = f(x) statt (x,y) in f.

  "x wird abgebildet auf f von x"

  "y ist f von x".

Die Normalparabel: Die Nachfolger-Funktion: ==Wichtige Begriffe==

• Das Bild (engl.: image) eines Elements x der Definitionsmenge ist einfach f(x).
• Das Bild einer Funktion ist die Menge aller Bilder, also f(A) = { f(x) : x in A }
• Das Urbild eines Elements y der Wertemenge ist die Menge aller Elemente der Definitionsbereichs, deren Bild y ist. Man schreibt f ^-1(y) = { x in A : f(x) = y }. Man sagt aus Faser von y.
• Das Urbild einer Teilmenge M der Wertemenge ist die Menge aller Elemente der Definitionsbereichs, deren Bild Element dieser Teilmenge ist. f ^-1(M) = { x in A : f(x) in M }.
• Die Komposition ist die Verknüpfung von Funktionen durch Hintereinanderausführung (f o g)(x) = f(g(x)).
• Die Umkehrfunktion einer bijektiven Funktion weist jedem Element der Wertemenge das Urbildelement zu. (Bei bijektiven Funktionen hat das Urbild jedes Elements exakt ein Element.)
• Ein Fixpunkt ist ein Element x des Definitionsbereich von f, für das f(x) = x gilt.

• Eine Funktion ist injektiv, wenn jedes Element des Wertebereichs maximal ein Urbild hat.
• Sie ist surjektiv, wenn jedes Element des Wertebereichs mindestens ein Urbild hat.
• Sie ist bijektiv, wenn sie injektiv und surjektiv ist.
• Sie ist idempotent, wenn f(f(x))=f(x) für alle Elemente x des Definitionsbereichs gilt.

• Monotonie
• Stetigkeit
• Differenzierbarkeit
• glatte Funktion
• Integrierbarkeit
• holomorphe Funktion
• Funktionen, die auf Zusammenhänge wie z.B. Operationen (Addition, etc.) in der Definitions- und der Wertemenge "Rücksicht nehmen", werden Morphismen genannt. Siehe Homomorphismus, Kategorientheorie.

Es gibt unterschiedlichste Unterscheidungmerkmale und somit auch viele Namen für einzelne Funktionstypen. Hier eine Einteilung reeller Funktion:

== Algebraische Funktionen ==

• algebraische Funktion
  • homogene lineare Funktion (auch: Proportionalität): allgemein beschrieben durch f(x) = m·x ; ist ein Homomorphismus bezüglich der Addition
  • allgemeine lineare Funktion (oder affine Funktion): allg. beschrieben durch f(x) = m·x + n
  • Quadratische Funktion: allg. beschrieben durch f(x) = a·x² + b·x + c (s. Quadratische Gleichung)
  • Potenzfunktion
  • Polynom-Funktion: allg. beschrieben durch f(x) = a_n·xⁿ + a_n-1·x^n-1 + ... + a₁·x + a₀ oder
    
  • Rationale Funktion: Quotient zweier Polynom-Funktionen, f(x) = g(x)/h(x)
  • Wurzelfunktion: besteht aus gebrochenrationalen Funktionen verknüpft durch die Grundrechenarten und Wurzelausdrücke

• analytische Funktion
• elementare Transzendente Funktionen
  • Exponentialfunktion
  • Logarithmus
  • Kreis- und Hyperbelfunktionen
    • Trigonometrische Funktion : - sin, cos, tan, cot, sec, csc
    • Hyperbelfunktion : - sinh, cosh, tanh, coth
    • Arcus-Funktion : - arcsin, arccos, arctan, arccot
    • Area-Funktion : - arsinh, arcosh, artanh, arcoth
• Spezielle Funktionen
  • Gammafunktion, Betafunktion, Zetafunktion
  • Elliptische Funktion
  • Hermitesches Polynom und Hermitesche Funktion
  • Bessel-Funktion
  • Legendre-Polynome
  • Kugelflächenfunktionen
  • Harmonische Funktion
  • Hurwitzpolynom
• sontige Funktionen
  • Logistische Funktion
  • Gaußsche Glockenkurve== unsortiert ==

Konkave Funktion - Lokal konstante Funktion

• Betragsfunktion
• Maximumfunktion und Minimumfunktion
• Gaußsche Ganzzahlfunktion
• Heaviside-Funktion
• konvexe Funktion

• Charakteristische Funktion
• Primitiv-rekursive Funktion
• Ackermannfunktion
• Phifunktion
• Zahlentheoretische Funktion
• Deltafunktion

• Diagramm
• Logarithmische Darstellung
• Softwareentwicklung

• Schöner online Funktionsplotter als Java-Applet (http://home.t-online.de/home/arndt.bruenner/mathe/java/plotter.htm)
• Programm zur gleichzeitigen Darstellung mehrerer Funktionen (http://www.josi-sh.de/polygraf/index.htm)